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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.9. Estudiar continuidad y derivabilidad en x0x_{0} de las siguientes funciones.
b) f(x)={xsin⁡(1x) si x≠00 si x=0;x0=0f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.

Respuesta

Arrancamos estudiando continuidad\textbf{continuidad} en x0=0 x_0 = 0 :
Verificamos las tres condiciones necesarias para que f(x) f(x) sea continua en x=0 x = 0 : a) f(0)=0 f(0) = 0 b) Calculamos el límite de f(x) f(x) cuando x x tiende a 00. 

lim⁡x→0xsin⁡(1x)=0 \lim_{{x \to 0}} x \sin(\frac{1}{x}) = 0 (por cero por acotada)

c) El límite cuando xx tiende a 00 existe y vale lo mismo que f(0)f(0), por lo tanto, ff es continua en x=0x=0

Estudiamos ahora derivabilidad\textbf{derivabilidad} en x0=0 x_0 = 0 : Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener f′(0)f'(0), ya que queremos calcular la derivada justo en el xx donde la función se parte. f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}

En este caso no es necesario abrir por derecha y por izquierda, en ambos casos la expresión que tenemos que usar para f(0+h)f(0+h) es la misma. 

lim⁡h→0hsin⁡(1h)−0h=lim⁡h→0hsin⁡(1h)h=lim⁡h→0sin⁡(1h) \lim_{{h \to 0}} \frac{h \sin(\frac{1}{h})-0}{h} = \lim_{{h \to 0}} \frac{h \sin(\frac{1}{h})}{h} = \lim_{{h \to 0}} \sin\left(\frac{1}{h}\right)

Este límite no existe ya que sin⁡(1h) \sin\left(\frac{1}{h}\right) oscila entre -1 y 1 a medida que h h se aproxima a 0. 
Por lo tanto, f(x) f(x) no es derivable en x=0 x = 0 .
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ExaComunidad
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Franco
8 de septiembre 1:19
Hola Flor! Llegue super bien a la parte de derivabilidad, pero... cuando llego a:

lim h->0 sin(1/h) no logro dilucidar porque no existe. Entiendo que oscila entre 1 y -1 pero si yo hago "1/un numero que se acerca a cero pero que no es cero", se me va a infinito, y en la calcu yo hago 1/0,0000001 = 10.000.000 y luego hago sin(10.000.000) = -0,984... o sea, existe, me da un numero. De todas maneras ahora me voy a geogebra a ver si lo logro entender... 
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Franco
8 de septiembre 1:24
Entre a geogebra y sali con mas dudas jaja. Grafique la funcion sen(1/x)... pero no lo puedo entender. 
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Franco
8 de septiembre 1:53
creo que ya entendi, ahi estoy observando el grafico. Yo al estudiar derivabilidad necesito que el resultado me de un numero para poder decir que en ese punto es derivable, pero la funcion seno oscila infinitamente. lo que no me termina de cerrar es que si la grafica es una sinusoide, deberia tener rectas tangentes (el punto de la derivada, o no?) Bueno, aguardo tu respuesta!
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