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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.9. Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones.
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$

Respuesta

Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 0 \):
Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \): a) \( f(0) = 0 \) b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $0$. 

$ \lim_{{x \to 0}} x \sin(\frac{1}{x}) = 0 $ (por cero por acotada)

c) El límite cuando $x$ tiende a $0$ existe y vale lo mismo que $f(0)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=0$

Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en \( x_0 = 0 \): Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(0)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte. \( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \)

En este caso no es necesario abrir por derecha y por izquierda, en ambos casos la expresión que tenemos que usar para $f(0+h)$ es la misma. 

\( \lim_{{h \to 0}} \frac{h \sin(\frac{1}{h})-0}{h} = \lim_{{h \to 0}} \frac{h \sin(\frac{1}{h})}{h} = \lim_{{h \to 0}} \sin\left(\frac{1}{h}\right) \)

Este límite no existe ya que \( \sin\left(\frac{1}{h}\right) \) oscila entre -1 y 1 a medida que \( h \) se aproxima a 0. 
Por lo tanto, \( f(x) \) no es derivable en \( x = 0 \).
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Avatar Gian 2 de septiembre 21:01
No entiendo porqué no es derivable analíticamente. En caso de no simplificar los términos, el numerador me da 0 (→0xacotada = 0). El resultado es 0/→0, eso no daría 0?
Avatar Flor Profesor 3 de septiembre 08:35
@Gian Hola Gian! 

El tema es que vos estas queriendo calcular la derivada justo en $x=0$ pero la expresión $x \cdot \sin(\frac{1}{x})$ no vale para $x=0$, es la expresión que vale para los $x$ distintos de cero -> Por eso es que en las funciones partidas, si queremos estudiar la derivada justo donde la función se parte (si es que existe) tenemos que usar el cociente incremental 

En cambio, si yo te pidiera por ejemplo cuánto vale $f'(5)$ (por poner un ejemplo), ahi no tenés problema, para $x=5$ usas la expresión $x \cdot \sin(\frac{1}{x})$, la derivas usando reglas y evaluas esa derivada en $x=5$ (o sea, no tomamos ningún límite, derivo usando las reglas de derivación y evaluo la derivada en ese $x$, pero bueno, eso lo haríamos para cualquier $x$ distinto de cero, justo en $x=0$ usamos el cociente incremental) -> Fijate que acá en el curso, una vez que vemos Regla de L'Hopital, hay muuuuchos ejercicios de este estilo en video de parciales, seguro ahi va a empezar a ayudar a que quede más claro :)
Avatar Franco 8 de septiembre 01:19
Hola Flor! Llegue super bien a la parte de derivabilidad, pero... cuando llego a:

lim h->0 sin(1/h) no logro dilucidar porque no existe. Entiendo que oscila entre 1 y -1 pero si yo hago "1/un numero que se acerca a cero pero que no es cero", se me va a infinito, y en la calcu yo hago 1/0,0000001 = 10.000.000 y luego hago sin(10.000.000) = -0,984... o sea, existe, me da un numero. De todas maneras ahora me voy a geogebra a ver si lo logro entender... 
Avatar Franco 8 de septiembre 01:24
Entre a geogebra y sali con mas dudas jaja. Grafique la funcion sen(1/x)... pero no lo puedo entender. 
Avatar Franco 8 de septiembre 01:53
creo que ya entendi, ahi estoy observando el grafico. Yo al estudiar derivabilidad necesito que el resultado me de un numero para poder decir que en ese punto es derivable, pero la funcion seno oscila infinitamente. lo que no me termina de cerrar es que si la grafica es una sinusoide, deberia tener rectas tangentes (el punto de la derivada, o no?) Bueno, aguardo tu respuesta!

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